2024年9月24
判断1：
单调有界：
数列${a_n}$单调递增，存在上确界，即${a_n}$极限存在
设数列 ${a_n}$是单调递增的，即对任意的 $n$有 $(a_n \leq a_{n+1})。$假设 $\{a_n\}$的上确界为 $L$，则有：
$$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$
其中 $L$ 是数列的极限，且 $L$是 $\{a_n\}$ 的上确界，即对于任意的 $\epsilon > 0$，$\exists N \in \mathbb{Z}^+$ ，使得当 $n \geq N$时，有：
$$ \lvert a_n-L\rvert<\epsilon$$
柯西收敛：
柯西收敛准则可以表述为：数列 $\{a_n\}$ 收敛，当仅当 $\forall \epsilon > 0$，$\exists N \in \mathbb{Z}^+$ ，使得对于所有的 $m, n \geq N$，都有：
$$ ∣a_n−a_m∣<ϵ $$
夹逼准则：
设有三个数列 $a_n$、$b_n$和 $c_n$，如果满足以下条件：
- $n \to \infty$，有 $b_n≤a_n≤c_n$。
- $\lim_{n \to \infty}b_n = L$
- $\lim_{n \to \infty} c_n = L$
那么可以得出结论：
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = L $$
比值判别法和根式判别法：
根式测试：
对于数列 $\{a_n\}$，若存在极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$：
- 若 $L<1$，则数列收敛。
- 若 $L>1 或 L=∞$，则数列发散。
- 若 $L=1$，则不确定。
比值测试：
若存在极限 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$：
- 若 $L<1$，则数列收敛。
- 若 $L>1 或 L=∞$，则数列发散。
- 若 $L=1$，则不确定。
常用的极限：
$\lim_{n \to \infty}n^{\frac{1}{n}} = 1$
证明：
$n^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{lnn}{n}}$
所以：$\lim_{n \to \infty}n^{\frac{1}{n}} =\lim_{n \to \infty} e^{\frac{lnn}{n}} = e^{\lim_{n \to \infty}\frac{lnn}{n}}$
又因为$n$是$lnn$的高阶无穷小
所以$\lim_{n \to \infty}\frac{lnn}{n}$ = 0
所以$\lim_{n \to \infty}n^{\frac{1}{n}} = 1$
斯特林公式——stlring公式
$\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}} = 1$
证明：暂时不带证明
首先：$\ln{n!} = \sum_{i=1}^{n}\ln i$