2024.9.26

矩阵行列式等于特征向量的乘积

$$ A = \left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} & \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right) $$

设$\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}$是$A$的特征值

所以就有

$$ det(A) = \prod\limits_{i=1}^n \lambda_i $$

证明方法：

假设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 是满足以下方程的标量：

$$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$

其中 $\mathbf{v}$是对应于特征值 $\lambda$的特征向量。为了找到这些特征值 $\lambda$，我们需要解特征方程：

$$ \det(A – \lambda I) = 0 $$

$$ \because\det(A – \lambda I) =\det\left( \begin{matrix} a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1} \\ a_{21}&a_{22}- \lambda& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda \end{matrix} \right)
$$

展开这个行列式后，得到一个关于 $\lambda$ 的多项式：

$$ det(A−λI)=(−1)^nλ_n+c_{n−1}λ_{n−1}+⋯+c_1λ+c_0 $$

所以最后可以把这个多项式转化成关于$\lambda$的$n$个解的形式

即：

$$ det(A−λI)=(−1)^n \left(\lambda-\lambda_1\right) \left(\lambda-\lambda_2\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_n\right) $$

也就是很容易就可以得到$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 就是这个行列式的根

然后观察这个 $det(A−λI)=(−1)^n \left(\lambda-\lambda_1\right) \left(\lambda-\lambda_2\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_n\right)$

若令$\lambda = 0$就可以得到：

$$ det(A−λI)=(−1)^n \left(-\lambda_1\right) \left(-\lambda_2\right) \cdots\left(-\lambda_n\right) = (-1)^{2n}\sum\limits^n_{i = 1}\lambda_i $$

例子：

$A = \left( \begin{matrix} 4&1\\ 2&3\\ \end{matrix} \right)$，求解$det（A）$

方法一：

$det（A） = 4\times3-2\times1 = 10$

方法二（利用特征值求解）：

$det(A−λI) = \left( \begin{matrix} 4-λ&1\\ 2&3-λ\\ \end{matrix} \right) = （4-λ）\times（3-λ）-2$

$\left\{ \begin{array}{l} \textλ_{1} = 5 \\ \text λ_{2} = 2 \end{array} \right.$

$\therefore det(A) = \lambda_1 \times\lambda_2 = 10$

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证明：$det（AB） = det(A)det(B)$

行列式乘法定理

利用矩阵行列式与特增值之间了关系证明

设 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 是矩阵$A$的特增值，$\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n$ 是矩阵$B$的特增值

$\therefore \det A\det B = \lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n \mu_1\mu_2\dots\mu_n$

下面证明：

$$ det（AB） = \lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n \mu_1\mu_2\dots\mu_n= \prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i\mu_i $$

$\because A = \left( \begin{matrix} \lambda_1& && \\ &\lambda_2 &\\ & & \ddots & \\ &&&\lambda_n \end{matrix} \right)$ $ B = \left( \begin{matrix} \mu_1& && \\ &\mu_2 &\\ & & \ddots & \\ &&&\mu_n \end{matrix} \right) $

$ \therefore AB = \left( \begin{matrix} \lambda_1\mu_1& && \\ &\lambda_1\mu_2 &\\ & & \ddots & \\ &&&\lambda_1\mu_n \end{matrix} \right) $

最后就可以得到$\det (AB) = \det{A} \times\det{B}$