定理内容

设 $a_n​$ 和 $b_n$是两个实数数列，并且满足以下条件：

1. 数列 bn 是严格递增的，即 $b_{n+1} > b_n$;
2. 数列 bn 发散到无穷大，即 $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = +\infty$
3. 存在$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} – b_n} = L$ （$L$可以是有限数或正负无穷）。

那么有：

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L $$

证明：

条件：

1. 数列 $bn$ 是严格递增的，即 $b_{n+1} > b_n$;
2. 数列 bn 发散到无穷大，即 $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = +\infty$
3. 存在$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} – b_n} = L$ （$L$可以是有限数或正负无穷）。

第一步：首先构建一个数列$d_n = \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} – b_n},而且\lim\limits_{n \to \infty}d_n = L$

第二步：$a_n = a_1+\sum\limits_{i = 2}^{n}a_{k+1}-a_{k}$

$b_n = b_1+\sum\limits_{i = 2}^{n}b_{k+1}-b_{k}$

第三步：根据极限的定义：

其中 $L$ 是数列$d_n$的极限，，即对于任意的 $\epsilon > 0$，$\exists N \in \mathbb{Z}^+$ ，使得当 $n \geq N$时，有：

$$ \lvert d_n-L\rvert<\epsilon$$

$$ \lvert \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} – b_n}-L\rvert<\epsilon$$

最后：

$$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1+\sum\limits_{i = 2}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})}{b_1+\sum\limits_{i = 2}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})} $$

又因为：$a_{n+1}-a_n\approx L (b_{n+1}-b_{n})$$\lim\limits_{n\to\infty}$

$$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1+L\sum\limits_{i = 2}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})}{b_1+\sum\limits_{i = 2}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})} = \frac{a_1+L(b_n-b_1)}{b_n} $$

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L $$

例题：

求解：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}$

首先：$n\to\infty, b_n\to\infty$

而且：

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln {(n+1)}-\ln{n}}{（n+1）-n} = 0 $$

所以：$$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = 0 $$