极限：
- 函数在一点的极限：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近的取值越来越接近某个值 $L$，则称 $L$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$处的极限，记作： $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ 这意味着当 $x$ 趋近$x_0$时，$f(x)$ 的值越来越接近 $L$。
- 左极限与右极限：有时函数在一点左右的极限不同。左极限是从左侧趋近时的极限，记作： $$ \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) $$ 右极限是向右侧趋近时的极限，记作： $$ \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) $$ 如果左右极限相等，函数在该点的极限存在，否则不存在。（函数证明极限了方法之一）
连续性：
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，当且仅当满足以下三个条件：
- 函数值存在：$f(x_0)$ 已定义，即 $x_0$ 在函数的定义域内。
- 极限存在：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$存在（左右极限相等）。
- 极限与函数值相等：极限值等于函数在该点的值，即 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
连续性的ε-δ定义
在数学分析中，为了更精确地描述连续性，使用了$ε-δ$定义。
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$处连续，若对于任意一个非常小的正数 $\epsilon >0$，都可以找到一个正数 $\delta > 0$，$s.t.$当 $|x – x_0| < \delta$ 时
$$ |f(x) – f(x_0)| < \epsilon $$
间断点（三类）：
可去间断点
定义：左极限和右极限都存在且相等
数学语言表示：
$$ \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = L，\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = L，但是f(x_0)没有定义，或者\lim\limits_{x \to x_0}f(x) \neq L $$
例子：
$$ f(x) = \frac{\sin x}{x}，x\neq 0 $$
由于$f(x)$在$0$这个点没有定义,但是$\lim\limits_{x \to 0}f(x) = 1$
$f(x)$在左右极限都相等，但是$f(x)$在0这点没有定义，所以$0$这个点为可以取间断点
以下是可去间断点的图像示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义自变量x的范围，避免x=0导致的除零错误
x = np.linspace(-20, 20, 1000)
x = x[x != 0] # 排除x=0，防止除零
# 计算函数值
y = np.sin(x) / x
# 创建绘图窗口
plt.figure(figsize=(10, 6))
# 绘制函数曲线
plt.plot(x, y, label=r'$f(x) = \\dfrac{\\sin x}{x}$')
# 在x=0处添加函数值f(0)=1
plt.plot(0, 1, 'ro', label='(0, 1)')
# 添加标题和标签
plt.title('函数 $f(x) = \\\\dfrac{\\\\sin x}{x}$ 的图像')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
# 显示图像
plt.show()
</pre>第一类间断点**（跳跃间断点）**：
定义
第一类间断点，也称为跳跃间断点，是指函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 附近有定义，且满足以下条件：
- 左右极限存在但不相等： $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2, \quad L_1 \neq L_2$
- 函数值 $f(x_0)$ 可以定义也可以未定义。
特征
- 左右极限存在但不相等，说明函数在 x0 处有一个“跳跃”。 x0x_0
- 无法通过重新定义函数值来消除间断，因为左右极限不一致。
- 函数值是否定义以及其值为何并不影响间断的性质。
示例 ：
考虑函数
$f(x) = \begin{cases} \sin x, & x < \pi \\ 1, & x = \pi \\ \cos x, & x > \pi \end{cases}$
计算在 $x = \pi$ 处的左右极限：
- 左极限： $\lim\limits_{x \to \pi^-} f(x) = \lim\limits_{x \to \pi^-} \sin x = \sin \pi = 0$
- 右极限： $\lim\limits_{x \to \pi^+} f(x) = \lim\limits_{x \to \pi^+} \cos x = \cos \pi = -1$
- 函数值 $f(π)=1$
左右极限存在但不相等，因此 $x = \pi$ 是跳跃间断点。
第二类间断点（本性间断点）：
定义
第二类间断点，也称为本性间断点，是指函数 $f(x)$ 在点$x_0$附近有定义，且至少满足以下条件之一：
- 左右极限至少有一个不存在，
- 左右极限至少有一个趋于无穷大。
特征
- 函数在间断点附近的行为无法通过有限的极限描述。
- 包括无穷间断点和振荡间断点。
- 无法通过任何方式消除间断性。
例子：
示例函数：
定义函数$f(x)$ 如下：
$f(x) = \begin{cases} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$
左右极限的计算
- 左极限： 当 $x \to 0^-$ 时，x是一个负数，趋近于 0。此时，$x\to -\infty$。因此， $\lim\limits_{x \to 0^-} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)$ 因此，左极限不存在。
- 右极限： $x \to 0^+$ 当 $x \to 0^+$ 时，$x$是一个正数，趋近于 $0$。此时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$。因此， $\lim\limits_{x \to 0^+} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)$ 因此，右极限也不存在。
