第一章
1.1集合
定义一：我们称$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i\}$,为 n 个集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 的积（或笛卡尔积）。
1.2映射
定义一
设 $\phi_1, \phi_2$都是从笛卡尔积 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 到集合 D 的映射，如果对于 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 中的每一个元素 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$，都有
$$
\phi_1(a_1, a_2, \dots, a_n) = \phi_2(a_1, a_2, \dots, a_n),
$$
则称这两个映射 $\phi_1, \phi_2$ 相等。
例子
设 $A = D$ 都表示正整数的集合，$\phi_1 : A \to D$ 定义为：$\phi_1(a) = 1，\phi_2 : A \to D$ 定义为：$\phi_2(a) = a^0$，$则 \phi_1 = \phi_2$。
定义二
我们称从 $A \times A$ 到 $A$ 的代数运算 $\circ$ 为 $A$ 上的代数运算，或 $A$ 上的二元运算。有的时候也说集合 $A$ 对于代数运算 $\circ$ 来说是闭的，或具有封闭性。
例子
设 $A = \{a, b, c\}$，请你规定 A 上的两个不同的代数运算。
解
对于任意的 $x, y \in A$，
$$
x \circ_1 y = x \quad x \circ_2 y = y,
$$
以及
| $\circ_3$ | $a$ | $b$ | $c$ |
|---|---|---|---|
| $a$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| $b$ | $b$ | $c$ | $a$ |
| $c$ | $c$ | $a$ | $b$ |
和
| $\circ_3$ | $a$ | $b$ | $c$ |
|---|---|---|---|
| $a$ | $a$ | $c$ | $b$ |
| $b$ | $b$ | $c$ | $c$ |
| $c$ | $c$ | $a$ | $a$ |
注意：这个表格里面随便填写数字，都是成立了
1.3结合律和交换律
定义
设 $\circ$ 是集合 $A$ 上的一个代数运算。
- 如果对于 $\forall a, b, c \in A$，都有：$$
(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c),
$$
则称 $\circ$ 适合结合律； - 如果对于 $\forall a, b \in A$，都有：$$
a \circ b = b \circ a,
$$
则称 $\circ$ 适合交换律。
例一
在有理数集 $\mathbb{Q}$ 上规定代数运算 $\circ$ 为普通加法 +，那么显然 $\circ$ 适合结合律和交换律，并且显然有：
$$
[(1 \circ 2) \circ (-1)] \circ (-2) = 0,
$$
$$
1 \circ [(2 \circ (-1)) \circ (-2)] = 0,
$$
$$
{[(−2) \circ 2] \circ 1} \circ (-1) = 0.
$$
注
这三个等式表明：当 $\circ$ 适合结合律和交换律时，
- 任意方式加括号不改变若干元素的运算结果；
- 任意改变元素的顺序也不改变若干元素的运算结果。
例二
在有理数集 $\mathbb{Q}$ 上规定代数运算 $\circ$ 为 $a \circ b = b^3$。考察 $\circ$ 是否适合结合律和交换律，并计算下列各式的值：
$$
[(1 \circ 2) \circ (-1)] \circ (-2),
$$
$$
1 \circ [(2 \circ (-1)) \circ (-2)],
$$
$$
{[(−2) \circ 2] \circ 1} \circ (-1).
$$
解
因为 $(a \circ b) \circ c = c^3, a \circ (b \circ c) = c^9$，所以 $\circ$ 不适合结合律； 因为 $a \circ b = b^3, b \circ a = a^3$，所以 $\circ$ 也不适合交换律。并且：
$$
[(1 \circ 2) \circ (-1)] \circ (-2) = -8,
$$
$$
1 \circ [(2 \circ (-1)) \circ (-2)] = -8^3 = -512,
$$
$$
{[(−2) \circ 2] \circ 1} \circ (-1) = -1.
$$
注
这三个等式表明：当 $\circ$ 既不适合结合律，也不适合交换律时，
- 任意方式加括号会改变若干元素的运算结果；
- 任意改变元素的顺序改变若干元素的运算结果。
例三
在有理数集 $\mathbb{Q}$ 上规定代数运算 $\circ 为 a \circ b = a$。 考察 $\circ$ 是否适合结合律和交换律，并计算下列各式的值：
$$
[(1 \circ 2) \circ (-1)] \circ (-2),
$$
$$
1 \circ [(2 \circ (-1)) \circ (-2)],
$$
$$
{[(−2) \circ 2] \circ 1} \circ (-1).
$$
解
因为 $(a \circ b) \circ c = a, a \circ (b \circ c) = a$，所以 $\circ$ 适合结合律； 但是 $1 \circ 2 = 1, 2 \circ 1 = 2$，所以 ‘$\circ$ 不适合交换律。并且：
$$
[(1 \circ 2) \circ (-1)] \circ (-2) = 1,
$$
$$
1 \circ [(2 \circ (-1)) \circ (-2)] = 1,
$$
$$
{[(−2) \circ 2] \circ 1} \circ (-1) = -2.
$$
注
这三个等式表明：当 $\circ$ 适合结合律，但不适合交换律时，
- 任意方式加括号不改变若干元素的运算结果；
- 元素顺序的改变会影响若干元素的运算结果。
定理 1
如果集合 A 上的代数运算适合结合律，那么任意加括号都不改变若干元素的运算结果。
定理2
如果集合 A 上的代数运算适合结合律和交换律，那么任意加括号，任意改变元素的顺序，都不改变若干元素的运算结果。
1.4 一一映射与变换
定义1（单射的定义）
设 $ \varphi: A \to \overline{A} $ 是一个映射，对于任意的 $ a, b \in \overline{A} $，如果
$a \neq b \implies \varphi(a) \neq \varphi(b),$
则称 $ \varphi $ 是从 $ A $ 到 $ \overline{A} $ 的单射。
定理1（和定义1等价）
$ \varphi: A \to \overline{A} $ 是单射当且仅当对于任意的 $ a, b \in \overline{A} $，
$\varphi(a) = \varphi(b) \implies a = b.$
定义2（满射的定义）
设 $ \varphi: A \to \overline{A} $ 是一个映射，如果对于任意的 $ b \in \overline{A} $，都存在 $ a \in A $，有 $ b = \varphi(a) $，则称 $ \varphi $ 是从 $ A $ 到 $ \overline{A} $ 的满射。
既是单射又是满射的映射称为一一映射。
定义3
设 $ f: A \to B $ 和 $ g: B \to C $ 是两个映射。规定
$ g \circ f: A \to C $ 为对于任意的 $ x \in A $，
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$。
则称 $ g \circ f $ 为 $ f $ 与 $ g $ 的复合映射。
定理2
单射的复合是单射；满射的复合是满射；双射的复合是双射。
证明
设 $ f: A \to B, g: B \to C $ 是两个映射。$ g \circ f $ 为 $ f $ 和 $ g $ 的复合映射。
（1）如果 $ f $ 和 $ g $ 都是单射，则对于任意的 $ a_1 \neq a_2 \in A $，由于 $ f $ 是单射，所以 $ f(a_1) \neq f(a_2) \in B $。再由 $ g $ 是单射，所以
$ g(f(a_1)) \neq g(f(a_2)) $。
即 $ (g \circ f)(a_1) = g(f(a_1)) \neq g(f(a_2)) = (g \circ f)(a_2) $。
所以 $ g \circ f $ 为单射。
（2）如果 $ f $ 和 $ g $ 都是满射。任取 $ c \in C $，由于 $ g $ 是满射，所以存在 $ b \in B $，使得 $ g(b) = c $。对于 $ b $ 来说，再由于 $ f $ 是满射，所以存在 $ a \in A $，使得 $ f(a) = b $。
从而有 $ c = g(f(a)) = (g \circ f)(a) $。
这说明 $ g \circ f $ 为满射。
定义4
设 $ f: A \to B $ 和 $ g: B \to A $ 是两个映射。如果$ f \circ g = id_B: B \to B $ 且 $ g \circ f = id_A: A \to A $，
则称 $ f $ 与 $ g $ 互为逆映射。
定理3
双射存在唯一的逆映射，且这个逆映射也是双射。
证明
设 $ f: A \to B $ 是一个双射。
我们规定 $ f^{-1}: B \to A $ 为对于任意的
（1）$ y = f(x) \in B, f^{-1}(y) = x $，即原像运算。由于 $ f $ 是满射，所以我们规定的对应 $ f^{-1} $ 是一个映射。
任意取 $ f(x_1) = y_1 \neq y_2 = f(x_2) \in B $，由于 $ f $ 是单射，所以 $ f^{-1}(y_1) = x_1 \neq x_2 = f^{-1}(y_2) $。
因此 $ f^{-1} $ 是单射。
（2）任意取 $ x \in A $，由于 $ f $ 是映射，所以 $ f(x) = y \in B $。这说明 $ x $ 在 $ f^{-1} $ 下的原像是存在的。因此 $ f^{-1} $ 是满射。
至此我们证明了我们构造的映射 $ f^{-1} $ 是双射。下面说明 $ f^{-1} $ 是 $ f $ 的逆映射。
（3）首先，对于任意的 $ x \in A $，如果令
$x_1 = (f^{-1} \circ f)(x)$，则 $x_1 = f^{-1}(f(x))$，从而 $f(x) = f(x_1)$。由于 $f$ 是单射，所以 $x_1 = x$。
于是 $x = (f^{-1} \circ f)(x)$ 对于任意的 $x \in A$ 都成立。这就证明了 $f^{-1} \circ f = id_A$。
同理可证 $f \circ f^{-1} = id_B$。
(4)下面来证明逆映射的唯一性。
设 $g$ 也是 $f$ 的一个逆映射。则由逆映射的定义必然有
$g \circ f = id_A, f \circ g = id_B$。
所以
$g = g \circ id_B = g \circ (f \circ f^{-1}) = (g \circ f) \circ f^{-1} $
$= id_A \circ f^{-1} = f^{-1}$。
定义5(变换的定义)
一个 $A$ 到 $A$ 的映射叫做 $A$ 的一个变换。
一个 $A$ 到 $A$ 的单射、满射或 $A$ 与 $A$ 之间的一一映射叫做 $A$ 的一个单射变换、满射变换或一一变换。
定理4
变换的复合适合结合律。
证明
设 $T$ 表示集合 $A$ 上的所有变换的集合，对于任意的 $f, g, h \in T$，因为对于任意的 $x \in A$，
$$
((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = f(g(h(x))),
$$
$$
(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(g(h(x))),
$$
所以 $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$ 对于所有 $x \in A$ 都成立。
因此，变换的复合满足结合律。
例子1
设 $A = \mathbb{R}^+$，$\overline{A} = \mathbb{R}$，找一个 $A$ 到 $\overline{A}$ 之间的一一映射。
解
$y = \ln x$。对数函数都是
例子2
设 $A = { \text{所有} \geq 0 \text{的实数} }$，$\overline{A} = [0, 1]$，找一个 $A$ 到 $\overline{A}$ 之间的满射。
解
$y = |\sin x|$。
例子3
假定 $ \varphi $ 是 $ A $ 与 $ \overline{A} $ 之间的一一映射，$ a \in A $，则
$$
\varphi^{-1}[\varphi(a)] = ? \quad \varphi[\varphi^{-1}(a)] = ?
$$
若 $ \varphi $ 是 $ A $ 的一个一一变换，这两个问题的结果又是什么？
解
- $ \varphi $ 是 $ A $ 与 $ \overline{A} $ 之间的一一映射时，$ \varphi^{-1}[\varphi(a)] = a $，$ \varphi[\varphi^{-1}(a)] $ 一般不存在。
- $ \varphi $ 是 $ A $ 的一个一一变换时，两式都等于 $ a $。（注意区别映射和变换的区别）
1.5同态
定义1
设 $(A, \circ)$, $(\overline{A}, \overline{\circ})$ 是两个代数系统，$\varphi: A \to \overline{A}$ 是一个映射，若对于任意的 $a, b \in A$，都有
$$
\varphi(a \circ b) = \varphi(a) \overline{\circ} \varphi(b),
$$
（乘积的像等于像的乘积）
则称 $\varphi$ 是从 $A$ 到 $\overline{A}$ 的同态映射。满的同态映射也称为同态满射，或满同态。若 $A$ 到 $\overline{A}$ 存在满同态，则称两个代数系统 $A, \overline{A}$ 是同态的，记为 $A \sim \overline{A}$。
在下面的三个例子中，我们用到了两个代数系统 $(A, \circ)$, $(\overline{A}, \overline{\circ})$。这里 $A = \mathbb{Z}, \circ$ 是普通数的加法，而 $\overline{A} = {-1, 1}, \overline{\circ}$ 是普通数的乘法。
例1
$\varphi_1: A \to \overline{A}$ 定义为：对于任意的 $a \in A$，$\varphi_1(a) = 1$，
则 $\varphi_1$ 是同态，但不是满同态。
例2
$\varphi_2: A \to \overline{A}$ 定义为：
$$
\varphi_2(a) =
\begin{cases}
-1, & a \text{ 为奇数}, \
1, & a \text{ 为偶数},
\end{cases}
$$
则 $\varphi_2$ 是满同态。
证明：
对于任意的 $a, b \in A$，下面分四种情况讨论：
- 当 $a, b$ 都是奇数时，$\varphi_2(a \circ b) = 1$，而 $$
\varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b) = (-1) \overline{\circ} (-1) = 1，
$$ 此时 $$
\varphi_2(a \circ b) = \varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b)。
$$ - 当 $a$ 是奇数，$b$ 是偶数时，$\varphi_2(a \circ b) = -1$，而 $$
\varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b) = (-1) \overline{\circ} 1 = -1，
$$ 此时 $$
\varphi_2(a \circ b) = \varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b)。
$$ - 当 $a$ 是偶数，$b$ 是奇数时，$\varphi_2(a \circ b) = -1$，而 $$
\varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b) = 1 \overline{\circ} (-1) = -1，
$$ 此时 $$
\varphi_2(a \circ b) = \varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b)。
$$ - 当 $a, b$ 都是偶数时，$\varphi_2(a \circ b) = 1$，而 $$
\varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b) = 1 \overline{\circ} 1 = 1，
$$ 此时 $$
\varphi_2(a \circ b) = \varphi_2(a) \overline{\circ} \varphi_2(b)。
$$
例3
$\varphi_3: A \to \overline{A}$ 定义为：对于任意的 $a \in A$，$\varphi_3(a) = -1$，
则 $\varphi_3$ 不是同态，也不是满射。
例4
在实数加法系统 $(\mathbb{R}, +)$ 上，定义 $\varphi: A \to A$ 为：对于任意的 $x \in \mathbb{R}$，$\varphi(x) = 5x$，则 $\varphi$ 是同态，也是双射。
（后面我们称之为“同构”）
定理1
设 $(A, \circ)$, $(\overline{A}, \overline{\circ})$ 是两个代数系统，若 $A \sim \overline{A}$，则：
- 若 $\circ$ 适合结合律，那么 $\overline{\circ}$ 也适合结合律；
- 若 $\circ$ 适合交换律，那么 $\overline{\circ}$ 也适合交换律。