新运算：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc$

二阶行列式：$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \rightarrow$ 表示两行两列4个元素

行列式的性质：是一个数

$a_{ij}$ (i表示行，j表示列)

例子

$$\begin{cases} 2x+3y=1 \\ 3x+4y=2 \end{cases}$$

二元方程组（Cramer法则）

$$D=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \quad D_1=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \quad D_2=\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 3 & 2 \end{vmatrix}$$

把它们按成分母不为零

$$x=\frac{D_1}{D} \quad y=\frac{D_2}{D}$$

三阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} – a_{13}a_{22}a_{31} – a_{12}a_{21}a_{33} – a_{11}a_{23}a_{32}$$

三行三列的元素

对角线法则：6条线

例：

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 5 & -2 & 7 \\ 2 & -5 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times (-2) \times 4 + 1 \times 7 \times (-5) + (-2) \times 5 \times (-5) – (-2) \times (-2) \times 2 – 1 \times 5 \times 4 – 1 \times (-2) \times (-5)$$

例

例：α取不同值，$D=\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} < 0$

解：$\alpha + 0 + 0 – 0 – 0 – 1 < 0$

即$D = \alpha^2 – 1 < 0$

数$\alpha \in (-1,1)$

特殊行列式：

(1)上三角行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22}a_{33}$

形 (2)下三角行列式： $\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33}$

形 (3)对角形 $\begin{vmatrix} a_{11} & & \\& a_{22} & \\& & a_{33} \end{vmatrix}$

排序和逆序

1.排列：由1,2,3,…,n组成的有序数组，n级排列

2.逆序 → 大数在小数前面

​ 逆序数：逆序的总数 $N(4132) = I(4132) = 4$

例：$N(641325) = 5+3+4+1 = 13$

例：$N(123…(n-1)n) = 0$

$N(n(n-1)…3.2.1) = n-1+n-2+…+1 = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2}$

3.奇偶排列

奇排列$\to$逆序数的和为奇数，反之

例：

(1) $N(4132) = 3+1=4$ 偶

(2) $N(32514) = 2+1+2=5$ 奇

(3) $N(n(n-1)…2.1) = \frac{n(n-1)}{2}$

若$n=4k$或$n=4k+1$,则$\frac{n(n-1)}{2}$ 为偶

若$n=4k+2$或$n=4k+3$,则$\frac{n(n-1)}{2}$ 为偶