对$e$进行Taylor展开

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}+o(n+n)$$

两边同时乘以$n!$:

得到：

$$n!\cdot e=n!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+\frac{n!}{(n+1)!}+n!\cdot o(n+1)!$$

注意到$\sin x$的周期性是$\pi$，对于$n!\cdot e$，出现的整数部分直接丢去

所以我们可以得到

$$\begin{aligned} &\lim\limits_{n \to \infty}n\sin 2\pi en!\\&=\lim_{n\to\infty}n\cdot\sin(2\pi\cdot(\frac{1}{n+1}+n!o{(n+1)!}))\\&=\lim_{n\to\infty}n\sin\frac{2\pi}{n+1}\\&根据等价无穷小可以得到\\&=\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{2\pi}{n+1}=2\pi \end{aligned}$$

后续准备制作成manim动画

————————————–2024.11.19—————————————————