题目

求证$$\color{red}L = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}}{\ln n} = 1$$

解题过程

1.使用stolz公式：

stolz公式的内容：

对于两个数列$\color{red}\{a_n\}和 \{b_n\}$，其中$b_n$是严格单调，且$\color{red}n\to\infty,b_n\to\infty$

如果极限

$$\color{red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n} = L$$

期中$L$为一个常数

那么极限$$\color{red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L$$

2.对于本道题目，$\color{red}b_n = \ln n,a_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$,也是调和级数。

$$\color{red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\Delta a_n}{\Delta b_n} =\frac{\frac{1}{n+1}}{\ln (1+\frac{1}{n})}$$

对于$\color{red}x\to0$,有$\color{red}\ln (x+1)∼x$,所以对于$\color{red}n \to\infty$，有$\color{red}\ln (1+\frac{1}{n})∼\frac{1}{n}$,

所以可以得到结果：

$$\color{red}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}= 1$$

———————————–后续使用manim来动态视频展示解题过程————